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東京農工大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第054回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{19+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{19n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-19)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 722\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 722\) を解きなさい。（7点）

第3問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=361\\) 上の点 \(P(t,361/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第4問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-38x+342\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第5問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を19回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

第6問　等比数列と奇数番目の項の和（16点）

初項19、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{19+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{19+j/n} \]

は \(g(x)=1/(19+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{19+x}\,dx=[\frac23(19+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(40\sqrt{5}-19\sqrt{19})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{19+x}\,dx=[\log(19+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{20}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-19)=722\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=38} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{19<x\le38} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=361/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-361/t=-361(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{361}=2,\quad(2t,0),(0,722/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(722/t\)。その積が \(1444\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{722} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+722/t\ge76\)。等号は \(t=19\) のとき。

\[ \boxed{\min=76,\quad P=(19,19)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-19)^2-19\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-19,\quad x=19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-19)^2=19\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=19\pm\sqrt{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{19-\sqrt{19}\le x\le 19+\sqrt{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(19\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{171}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{524287}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{171}{524287}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=19\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=19(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{19}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。