J 受験ヒーロー

津田塾大学 A方式・数学科・情報科学科 数学記述模試 第039回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-24x+132\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=12,B=12i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を12回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第4問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{24}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{25}\) を求めなさい。（7点）

第5問　等差数列の一般項・和・境界（16点）

初項12、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）\(a_n\ge 36\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=144\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-12)^2-12\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-12,\quad x=12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-12)^2=12\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=12\pm\sqrt{12}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{12-\sqrt{12}\le x\le 12+\sqrt{12}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=6(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=12\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=72\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=2(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=4\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(12\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{33}{2048}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{4095}{4096}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{22}{1365}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(12\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{676039}{8388608}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(12\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{4194304}{16900975}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=12+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+11)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{13} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-144=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-12\sqrt2\le a\le12\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm12\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{576-2a^2},\quad\max L=24\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。