津田塾大学 A方式・数学科・情報科学科 数学記述模試 第038回
この回のテストポイント
- 第1問：データの変換と分散
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第4問：回転軸を変える体積計算
- 第5問：内積・角度とベクトルの射影
- 第6問：指数方程式・不等式と置換
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 データの変換と分散（17点）
5個のデータは \(10,11,12,13,14\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^12=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{11}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{11}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{11}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 非復元抽出の組合せと期待値（17点）
袋に赤玉24個、青玉12個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）
第4問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le12\) で曲線 \(y=x(12-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第5問 内積・角度とベクトルの射影（16点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）
第6問 指数方程式・不等式と置換（16点）
\(F(x)=4^x-13\cdot2^x+12\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（4点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（4点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(12\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(12\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{11}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{11}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{12}x(12-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(12-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le144/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(12\pm\sqrt{144-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-13u+12=(u-1)(u-12)\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。