東京都立大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第040回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：等差数列の一般項・和・境界
- 第3問：抽出方法と条件付き確率
- 第4問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（25点）
\(0\le x\le 52\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+676\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）
第2問 等差数列の一般項・和・境界（25点）
初項26、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(a_n\ge 78\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
第3問 抽出方法と条件付き確率（25点）
袋に赤玉 \(26\) 個、青玉 \(52\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化（25点）
円 \\(x^2+y^2=676\\) の内部の点 \(Q(13,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+676-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-26\le t\le 26\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
判別式より \(t>26\) または \(t<-26\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>26\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(52)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(3380-104t\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((26-1)/(78-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{52(52-1)}{78(78-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(26-1)<130-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=13\) を円の式に代入する。\\(y^2=507\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
直線は \(mx-y-13m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{676m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{676-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le26/2\)。面積の2乗は \(d^2(676-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(676-s)\) は \(0\le s\le676/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。