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東京都立大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第039回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　データの変換と分散（25点）

5個のデータは \(24,25,26,27,28\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（7点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（7点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=27,\ a_{n+2}=27a_{n+1}-26a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を26回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　線分上の点と内積・最大最小（25点）

\(O(0,0),B(52,0),C(0,26)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(26\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=26,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=55,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=26(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(26\) なので \(a_{n+1}-a_n=26^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{26^n-1}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(26-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{26(26^n-1)-25n}{625}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=26a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-26a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(26\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{325}{67108864}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{67108863}{67108864}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{325}{67108863}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(52(1-t),26t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\[ OP^2=676(5t^2-8t+4)=5676(t-4/5)^2+4676/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-52,26)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(\frac{52}{5},\frac{104}{5}),\quad\min OP=\frac{52}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

長方形の面積は \(1352t(1-t)=338-1352(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=338,\quad P=(26,13)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。