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上智大学 TEAP利用型・数学IIまで 数学記述模試 第001回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(60\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から20までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを10より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

第3問　直角三角形の三角比と内接円（25点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=10、AC=20とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le10\) とする。\(0\le x\le10\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=60-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=60-2a,\quad 15<a<30} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=30(30-a)^2(2a-30)\)。微分すると \((S^2)'=180(30-a)(20-a)\)。存在範囲で \(a=20\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=20,\quad S_{\max}=100\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(30\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=30r\)。

\[ \boxed{r=\frac{10}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(10-\lfloor10/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{1}{2},\quad\text{独立である}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=10\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

面積は \(100\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{4\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=5(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le10\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{10}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-50a+\frac{1000}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-50\)。定義域内で \(a=10/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=5\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{500}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。