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昭和医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第012回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　集合の包含と人数の計算（17点）

65人のクラスで、集合Aの人数は39人、集合Bは26人、両方に属する人数は13人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第2問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(13)=0\)、\(P(-13)=4394\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-26\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{676}+\frac{y^2}{169}=1 \]

の第1象限の点 \(P(26\cos t,13\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(78\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{13+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{13n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　等差数列の一般項・和・境界（16点）

初項13、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）\(a_n\ge 39\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{52} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{13} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{39} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-338,\quad b=2197} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-13)\(x^2+13x-169\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=13,\frac{13}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{10985} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{26}+\frac{y\sin t}{13}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(26/\cos t\)、\(13/\sin t\)。面積は \(169/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=338,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(169\(1-x^2/676\)\)。\(-26\le x\le26\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{17576}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=78-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=78-2a,\quad \frac{39}{2}<a<39} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=39(39-a)^2(2a-39)\)。微分すると \((S^2)'=234(39-a)(26-a)\)。存在範囲で \(a=26\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=26,\quad S_{\max}=169\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(39\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=39r\)。

\[ \boxed{r=\frac{13}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{13+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{13+j/n} \]

は \(g(x)=1/(13+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{13+x}\,dx=[\frac23(13+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(14\sqrt{14}-13\sqrt{13})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{13+x}\,dx=[\log(13+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{14}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=13+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+12)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{14} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。