昭和医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第011回
この回のテストポイント
- 第1問：反復試行と条件付き確率
- 第2問：データの変換と分散
- 第3問：複素数の回転と正三角形
- 第4問：空間の垂線と四面体
- 第5問：三角関数の積分漸化式
- 第6問：重解を使う三次曲線の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を13回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第2問 データの変換と分散（17点）
5個のデータは \(11,12,13,14,15\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）
第3問 複素数の回転と正三角形（17点）
複素数平面で \(A=13,B=13i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）
第4問 空間の垂線と四面体（17点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）
第5問 三角関数の積分漸化式（16点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）
（2）\(I_{26}\) を求めなさい。（4点）
（3）\(I_{27}\) を求めなさい。（8点）
第6問 重解を使う三次曲線の面積（16点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-507x\) の \(x=13\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（4点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（4点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(13\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(13\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|B-A|=13\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=78\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底面OABの面積は \(169\)、Cからこの底面までの高さは \(39\) なので体積は \(2197\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(13\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(13\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(13)=0\) なので \(l:y=-4394\)。差は \((x-13)^2(x+26)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
区間 \([-26,13]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{507}{2}x^2+4394x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。