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信州大学 工学部・理系数学 数学記述模試 第098回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+441=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(21,0)、半径がともに21の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第3問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項21、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{21+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{21n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=21,B=21i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(21)=0\)、\(P(-21)=18522\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-42\) で割った余りを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-441)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-21\ \text{または}\ t\ge21} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>21} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(441\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{21}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{21}{2},\frac{21}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{21}{2},-\frac{21}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{21\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{441}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=21\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=21(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=7(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{21+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{21+j/n} \]

は \(g(x)=1/(21+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{21+x}\,dx=[\frac23(21+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(22\sqrt{22}-21\sqrt{21})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{21+x}\,dx=[\log(21+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{22}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{21}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=21\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{441}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{7}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=7\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-882,\quad b=9261} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-21)\(x^2+21x-441\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=21,\frac{21}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{46305} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。