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信州大学 工学部・理系数学 数学記述模試 第097回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　直角三角形の三角比と内接円（17点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=21、AC=42とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉42個、青玉21個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+21)(n+22)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{44}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le21\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{21}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-21|=2|z+21|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

第6問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-63x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=21\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{63} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=21\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

面積は \(441\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{42}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=\frac{21}{2}(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{861}{1891}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+21}-\frac1{n+22}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{22(n+22)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{22} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<21\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log21+1}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-21)^2+y^2=4((x+21)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+35)^2+y^2=784} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(105/3\)、半径は \(84/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=63\ (z=-63),\quad\min|z|=7\ (z=-7)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-21w|=2|1+21w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{63})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{3969}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-42)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=42で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-37044} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-1323\)、接点のy座標は \(-18522\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-1323x+9261} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{5250987}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。