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成蹊大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第094回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+25)(n+26)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{52}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(25,0)、半径がともに25の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-50x+600\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第4問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le25\) で曲線 \(y=x(25-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第5問　指数方程式・不等式と置換（16点）

\(F(x)=4^x-26\cdot2^x+25\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（4点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（4点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（8点）

第6問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=625\\) 上の点 \(P(t,625/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+25}-\frac1{n+26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{26(n+26)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{26} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{25}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{25}{2},\frac{25}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{25}{2},-\frac{25}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{25\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{625}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-25)^2-25\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-25,\quad x=25} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-25)^2=25\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=25\pm\sqrt{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{25-\sqrt{25}\le x\le 25+\sqrt{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{25}x(25-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{15625}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(25-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{25}x^2(25-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{1953125}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le625/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(25\pm\sqrt{625-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=25\pi\sqrt{625-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{390625}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-26u+25=(u-1)(u-25)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_225} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_225} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-144,\quad x=\log_213} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=625/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-625/t=-625(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{625}=2,\quad(2t,0),(0,1250/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1250/t\)。その積が \(2500\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1250} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1250/t\ge100\)。等号は \(t=25\) のとき。

\[ \boxed{\min=100,\quad P=(25,25)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。