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成蹊大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第083回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(30,1),\ \mathbf b=(1,30) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第2問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を30回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第3問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+900=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第4問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le30\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{30}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第5問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-90x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=30\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{90} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3600}+\frac{y^2}{900}=1 \]

の第1象限の点 \(P(60\cos t,30\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=60,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{901}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{60}{901}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=901t^2-120t+901 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{808201}{901},\quad t=\frac{60}{901}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(30\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{435}{1073741824}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{1073741823}{1073741824}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{145}{357913941}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-900)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-30\ \text{または}\ t\ge30} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>30} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(900\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{900}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<30\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log30+1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-60)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=60で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-108000} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-2700\)、接点のy座標は \(-54000\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-2700x+27000} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-5467500} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{60}+\frac{y\sin t}{30}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(60/\cos t\)、\(30/\sin t\)。面積は \(900/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1800,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(900\(1-x^2/3600\)\)。\(-60\le x\le60\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{72000\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。