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成蹊大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第069回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+27)(n+28)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{56}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(27,0)、半径がともに27の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-54x+702\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第4問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{27+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{27n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第5問　三次関数の増減・接線・定積分（16点）

\(f(x)=x^3-81x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）\(x=27\) における接線を求めなさい。（4点）

（3）\(\int_0^{81} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）

第6問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=729\\) 上の点 \(P(t,729/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+27}-\frac1{n+28}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{28(n+28)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{28} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{27}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{27}{2},\frac{27}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{27}{2},-\frac{27}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{27\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{729}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-27)^2-27\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-27,\quad x=27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-27)^2=27\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=27\pm\sqrt{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{27-\sqrt{27}\le x\le 27+\sqrt{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{27+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{27+j/n} \]

は \(g(x)=1/(27+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{27+x}\,dx=[\frac23(27+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(56\sqrt{7}-81\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{27+x}\,dx=[\log(27+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{28}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-54)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=54で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-78732} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

傾きは \(-2187\)、接点のy座標は \(-39366\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-2187x+19683} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-\frac{14348907}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=729/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-729/t=-729(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{729}=2,\quad(2t,0),(0,1458/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1458/t\)。その積が \(2916\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1458} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1458/t\ge108\)。等号は \(t=27\) のとき。

\[ \boxed{\min=108,\quad P=(27,27)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。