大阪医科薬科大学 看護学部・数学I・A 数学記述模試 第029回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係と対称式
- 第2問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第3問：二次関数の頂点・解・不等式
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 解と係数の関係と対称式（34点）
方程式 \\(x^2-21x+98=0\\) の2解をα,βとする。
（1）2解を求めなさい。（10点）
（2）解の2乗の和を求めなさい。（10点）
（3）解の差の絶対値と逆数の和を求めなさい。（14点）
第2問 非復元抽出の組合せと期待値（33点）
袋に赤玉14個、青玉7個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（9点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（9点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（15点）
第3問 二次関数の頂点・解・不等式（33点）
実数全体で \(f(x)=x^2-14x+42\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（9点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（9点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（15点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係と対称式
（1）
\((x-7)(x-14)=0\) と因数分解する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
解の和の2乗から解の積の2倍を引いても計算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
2解を代入し、差の絶対値をとる。逆数の和は解の和を積で割る。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-7)^2-7\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
\((x-7)^2=7\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。