J 受験ヒーロー

お茶の水女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第089回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-32x+240\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第2問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(96\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{16+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{16n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第4問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^16=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{15}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{15}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{15}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第5問　委員選出と余事象の数え上げ（16点）

男子16人、女子16人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）

第6問　絶対値を含む面積の最適化（16点）

\(0\le a\le16\) とする。\(0\le x\le16\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-16)^2-16\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-16,\quad x=16} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-16)^2=16\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=16\pm\sqrt{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{16-\sqrt{16}\le x\le 16+\sqrt{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=96-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=96-2a,\quad 24<a<48} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=48(48-a)^2(2a-48)\)。微分すると \((S^2)'=288(48-a)(32-a)\)。存在範囲で \(a=32\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=32,\quad S_{\max}=256\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(48\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=48r\)。

\[ \boxed{r=\frac{16}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{16+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{16+j/n} \]

は \(g(x)=1/(16+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{16+x}\,dx=[\frac23(16+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(17\sqrt{17}-64)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{16+x}\,dx=[\log(16+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{17}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(16\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{15}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{16}+i\sin\frac{2\pi j}{16},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^16-1=(z-1)\prod_{j=1}^{15}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{15}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{16} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{4960} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{1920} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{3840} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le16\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{16}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-128a+\frac{4096}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(S'(a)=a^2-128\)。定義域内で \(a=16/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=8\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{2048}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。