新潟大学 経済科学・教育など・数学IIまで 数学記述模試 第055回
この回のテストポイント
- 第1問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第2問：指数方程式・不等式と置換
- 第3問：内積・角度とベクトルの射影
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-26x+156\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第2問 指数方程式・不等式と置換（25点）
\(F(x)=4^x-14\cdot2^x+13\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（7点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（7点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（11点）
第3問 内積・角度とベクトルの射影（25点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=13、AC=26、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-13)^2-13\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-13)^2=13\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-14u+13=(u-1)(u-13)\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=169+676-676\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。