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京都大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第080回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(31)=0\)、\(P(-31)=59582\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-62\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le31\) とする。\(0\le x\le31\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=31,B=31i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(31,0,0),B(0,62,0),C(0,0,93) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第5問　完全順列の漸化式と固定点（16点）

\(31\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{31+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{31n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1922,\quad b=29791} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-31)\(x^2+31x-961\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=31,\frac{31}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{148955} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le31\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{31}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{961}{2}a+\frac{29791}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{961}{2}\)。定義域内で \(a=31/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{31}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{29791}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{31}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=31\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{961}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{31}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{31}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=186} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=186\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{1116}{49},\frac{558}{49},\frac{372}{49}),\quad OH=\frac{186}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(961\)、Cからこの底面までの高さは \(93\) なので体積は \(29791\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{6727}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{31}=3025013288941909109703700275299910 \]

。全割当ては \(31!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{277778998066291010992075323719}{755081602771159120084992000000}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/31\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{31+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{31+j/n} \]

は \(g(x)=1/(31+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{31+x}\,dx=[\frac23(31+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(128\sqrt{2}-31\sqrt{31})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{31+x}\,dx=[\log(31+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{32}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。