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京都大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第065回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(4)=0\)、\(P(-4)=128\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-8\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le4\) とする。\(0\le x\le4\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第3問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=16\\) 上の点 \(P(t,16/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第4問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(4,0,0),B(0,8,0),C(0,0,12) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(4\) 個、青玉 \(8\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le4\) で曲線 \(y=x(4-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-32,\quad b=64} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-4)\(x^2+4x-16\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=4,2(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{320} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le4\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{4}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-8a+\frac{64}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-8\)。定義域内で \(a=4/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=2\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{32}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=16/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-16/t=-16(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{16}=2,\quad(2t,0),(0,32/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(32/t\)。その積が \(64\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+32/t\ge16\)。等号は \(t=4\) のとき。

\[ \boxed{\min=16,\quad P=(4,4)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=24} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=24\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{144}{49},\frac{72}{49},\frac{48}{49}),\quad OH=\frac{24}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(16\)、Cからこの底面までの高さは \(12\) なので体積は \(64\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{56} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((4-1)/(12-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{8(8-1)}{12(12-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{3}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(4-1)<20-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{3}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{4}x(4-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{32}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(4-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{4}x^2(4-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{512}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le16/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(4\pm\sqrt{16-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=4\pi\sqrt{16-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{128}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。