京都大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第059回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：重解を使う三次曲線の面積
- 第3問：複素数の回転と正三角形
- 第4問：等周条件と三角形の面積
- 第5問：完全順列の漸化式と固定点
- 第6問：対数の評価と部分積分
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（17点）
\(0\le x\le 20\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+100\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）
第2問 重解を使う三次曲線の面積（17点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-300x\) の \(x=10\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）
第3問 複素数の回転と正三角形（17点）
複素数平面で \(A=10,B=10i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）
第4問 等周条件と三角形の面積（17点）
周の長さが \(60\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）
第5問 完全順列の漸化式と固定点（16点）
\(10\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
第6問 対数の評価と部分積分（16点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le10\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）
（3）
を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+100-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-10\le t\le 10\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>10\) または \(t<-10\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>10\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(20)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(500-40t\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(10)=0\) なので \(l:y=-2000\)。差は \((x-10)^2(x+20)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-20,10]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-150x^2+2000x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|B-A|=10\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=60-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=30(30-a)^2(2a-30)\)。微分すると \((S^2)'=180(30-a)(20-a)\)。存在範囲で \(a=20\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半周長は \(30\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=30r\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{10}=1334961\)。全割当ては \(10!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/10\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<10\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。