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京都大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第045回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(3)=0\)、\(P(-3)=54\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-6\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　逆数で線形化し差を足す（17点）

\[ a_1=1/3,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=3,B=3i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　線分上の点と内積・最大最小（17点）

\(O(0,0),B(6,0),C(0,3)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（5点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（5点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(3\) 個、青玉 \(6\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{3+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{3n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-18,\quad b=27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-3)\(x^2+3x-9\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=3,\frac{3}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{135} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{3}-\frac1{n+3}=\frac{n}{3(n+3)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+3}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{3}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=3\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(6(1-t),3t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ OP^2=9(5t^2-8t+4)=59(t-4/5)^2+49/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-6,3)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(\frac{6}{5},\frac{12}{5}),\quad\min OP=\frac{6}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

長方形の面積は

\[ 18t(1-t)=\frac{9}{2}-18(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{9}{2},\quad P=(3,\frac{3}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((3-1)/(9-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{12}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{6(6-1)}{9(9-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(3-1)<15-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{3+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{3+j/n} \]

は \(g(x)=1/(3+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{3+x}\,dx=[\frac23(3+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(8-3\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{3+x}\,dx=[\log(3+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{4}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。