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京都大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第021回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（17点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+26\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=26\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）

第2問　重解を使う三次曲線の面積（17点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-2028x\) の \(x=26\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-26|=2|z+26|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化（17点）

円 \\(x^2+y^2=676\\) の内部の点 \(Q(13,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）

第5問　完全順列の漸化式と固定点（16点）

\(26\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{26+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{26n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=26+t-52t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=26+\frac1{208}-52(t-\frac1{104})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=26\)、\(f(1)=-25\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{5409}{208}\ (\sin\theta=\frac1{104}),\quad\min f=-25\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-52t^2=0\) の解は0と \(1/52\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{52}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(26)=0\) なので \(l:y=-35152\)。差は \((x-26)^2(x+52)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-52,-35152),\quad(26,-35152)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-52,26]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-52}^{26}(x^3-2028x+35152)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-1014x^2+35152x\\)。

\[ \boxed{3084588} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{26}(f(x)+35152)\,dx=342732 \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-26)^2+y^2=4((x+26)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{130}{3})^2+y^2=\frac{10816}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(130/3\)、半径は \(104/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=78\ (z=-78),\quad\min|z|=\frac{26}{3}\ (z=-\frac{26}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-26w|=2|1+26w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{78})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{4}{1521}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=13\) を円の式に代入する。\\(y^2=507\\)。

\[ \boxed{(13,\pm 13\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-13m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{676m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{676-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=26\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le26/2\)。面積の2乗は \(d^2(676-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(676-s)\) は \(0\le s\le676/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=169\sqrt{3},\quad x=13} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{26}=148362637348470135821287825 \]

。全割当ては \(26!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{5934505493938805432851513}{16131658445064225423360000}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/26\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{26+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{26+j/n} \]

は \(g(x)=1/(26+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{26+x}\,dx=[\frac23(26+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(81\sqrt{3}-26\sqrt{26})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{26+x}\,dx=[\log(26+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{27}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。