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関西学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第100回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=25\\) 上の点 \(P(t,25/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）

1から10までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを5より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）

第3問　重解を使う三次曲線の面積（17点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-75x\) の \(x=5\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 10\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+25\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第5問　線分上の点と内積・最大最小（16点）

\(O(0,0),B(10,0),C(0,5)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（4点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（4点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（8点）

第6問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{5+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{5n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=25/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-25/t=-25(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{25}=2,\quad(2t,0),(0,50/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(50/t\)。その積が \(100\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{50} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+50/t\ge20\)。等号は \(t=5\) のとき。

\[ \boxed{\min=20,\quad P=(5,5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(5-\lfloor5/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{3}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{3}{5},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(5)=0\) なので \(l:y=-250\)。差は \((x-5)^2(x+10)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-10,-250),\quad(5,-250)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-10,5]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-10}^{5}(x^3-75x+250)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-\frac{75}{2}x^2+250x\\)。

\[ \boxed{\frac{16875}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{5}(f(x)+250)\,dx=\frac{1875}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+25-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}25&t\le0\\25-t^2&0<t<10\\125-20t&t\ge10\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-5\le t\le 5\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le5} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>5\) または \(t<-5\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>5\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(10)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(125-20t\)。

\[ \boxed{5<t\le \frac{25}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(10(1-t),5t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ OP^2=25(5t^2-8t+4)=525(t-4/5)^2+425/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-10,5)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(2,4),\quad\min OP=2\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

長方形の面積は

\[ 50t(1-t)=\frac{25}{2}-50(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{25}{2},\quad P=(5,\frac{5}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{5+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{5+j/n} \]

は \(g(x)=1/(5+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{5+x}\,dx=[\frac23(5+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(6\sqrt{6}-5\sqrt{5})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{5+x}\,dx=[\log(5+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{6}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。