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関西学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第095回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=121\\) 上の点 \(P(t,121/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）

1から22までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを11より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+11)(n+12)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{24}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-11|+|x+11|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 33\) を解きなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(11,1),\ \mathbf b=(1,11) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　指数関数の最大値と積分の極限（16点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-11x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=121/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-121/t=-121(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{121}=2,\quad(2t,0),(0,242/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(242/t\)。その積が \(484\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{242} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+242/t\ge44\)。等号は \(t=11\) のとき。

\[ \boxed{\min=44,\quad P=(11,11)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(11-\lfloor11/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{3}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{6}{11},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+11}-\frac1{n+12}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{12(n+12)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-11,11\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-11\\22&-11\le x\le11\\2x&x>11\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=22,\quad -11\le x\le11} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 33\)、\(2x\le 33\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{33}{2}\le x\le \frac{33}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=22,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{122}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{11}{61}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=122t^2-44t+122 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{7200}{61},\quad t=\frac{11}{61}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-11x}(1-11x)\)。指数因子は正なので \(x=1/11\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{11},\quad\max f=\frac1{11e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{11x+1}{121}e^{-11x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(11a+1)e^{-11a}}{121}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(e^{-11a}\) と \(ae^{-11a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{121}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。