國學院大學 数学①・数学I・A 数学記述模試 第048回
この回のテストポイント
- 第1問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：非復元抽出の組合せと期待値
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（34点）
1から22までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを11より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（10点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（10点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（14点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（33点）
実数全体で \(f(x)=x^2-22x+110\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（9点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（9点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（15点）
第3問 非復元抽出の組合せと期待値（33点）
袋に赤玉22個、青玉11個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（9点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（9点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（15点）
解答・解説
第1問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(11-\lfloor11/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-11)^2-11\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
\((x-11)^2=11\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。