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工学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第013回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子23人、女子23人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le23\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{23}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-23|=2|z+23|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(23)=0\)、\(P(-23)=24334\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-46\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第5問　等比数列と奇数番目の項の和（16点）

初項23、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（8点）

第6問　データの変換と分散（16点）

5個のデータは \(21,22,23,24,25\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{15180} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{5819} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{11638} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<23\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log23+1}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-23)^2+y^2=4((x+23)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{115}{3})^2+y^2=\frac{8464}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(115/3\)、半径は \(92/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=69\ (z=-69),\quad\min|z|=\frac{23}{3}\ (z=-\frac{23}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-23w|=2|1+23w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{69})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{4761}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1058,\quad b=12167} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-23)\(x^2+23x-529\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=23,\frac{23}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{60835} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=23\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=23(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{23}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(23\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=23,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=49,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。