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工学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第012回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(23,0)、半径がともに23の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第2問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{23+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{23n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=23,B=23i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-23)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 1058\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 1058\) を解きなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(23,1),\ \mathbf b=(1,23) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　直角三角形の三角比と内接円（16点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=23、AC=46とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{23}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{23}{2},\frac{23}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{23}{2},-\frac{23}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{23\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{529}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{23+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{23+j/n} \]

は \(g(x)=1/(23+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{23+x}\,dx=[\frac23(23+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(48\sqrt{6}-23\sqrt{23})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{23+x}\,dx=[\log(23+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{24}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{23}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=23\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{529}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{23}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{23}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>23} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-23)=1058\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=46} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{23<x\le46} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=46,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{530}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{23}{265}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=530t^2-92t+530 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{139392}{265},\quad t=\frac{23}{265}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=23\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

面積は \(529\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{46}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=\frac{23}{2}(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。