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慶應義塾大学 経済学部・A方式 数学記述模試 第029回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(29\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=841\\) の内部の点 \(Q(\frac{29}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le29\) とする。\(0\le x\le29\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第4問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+29\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=29\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{29}=3252702461227859257745914274516 \]

。全割当ては \(29!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{116167945043852116348068366947}{315777214062132212662272000000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/29\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{29}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{2523}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{29}{2},\pm \frac{29}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{29}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{841m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{841-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=29\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le29/2\)。面積の2乗は \(d^2(841-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(841-s)\) は \(0\le s\le841/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{841}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{29}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le29\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{29}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{841}{2}a+\frac{24389}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{841}{2}\)。定義域内で \(a=29/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{29}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{24389}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=29+t-58t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=29+\frac1{232}-58(t-\frac1{116})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=29\)、\(f(1)=-28\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{6729}{232}\ (\sin\theta=\frac1{116}),\quad\min f=-28\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-58t^2=0\) の解は0と \(1/58\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{58}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。