金沢大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第100回
この回のテストポイント
- 第1問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第2問：対数の真数条件と単調性
- 第3問：集合の包含と人数の計算
- 第4問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(20)=0\)、\(P(-20)=16000\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-40\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第2問 対数の真数条件と単調性（25点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-20)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（7点）
（2）\(F(x)=\log_2 800\) を解きなさい。（7点）
（3）\(F(x)\le\log_2 800\) を解きなさい。（11点）
第3問 集合の包含と人数の計算（25点）
100人のクラスで、集合Aの人数は60人、集合Bは40人、両方に属する人数は20人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化（25点）
円 \\(x^2+y^2=400\\) の内部の点 \(Q(10,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）
解答・解説
第1問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-20)\(x^2+20x-400\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-20)=800\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=10\) を円の式に代入する。\\(y^2=300\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
直線は \(mx-y-10m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{400m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{400-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le20/2\)。面積の2乗は \(d^2(400-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(400-s)\) は \(0\le s\le400/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。