J 受験ヒーロー

金沢大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第055回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（25点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(10)=0\)、\(P(-10)=2000\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（7点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）

（3）P(x)を \(x-20\) で割った余りを求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=11,\ a_{n+2}=11a_{n+1}-10a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を10回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(60\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-200,\quad b=1000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(P(x)=(x-10)\(x^2+10x-100\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=10,5(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{5000} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=10(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(10\) なので \(a_{n+1}-a_n=10^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{10^n-1}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(10-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{10(10^n-1)-9n}{81}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=10a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-10a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(10\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{45}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{1023}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{15}{341}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=60-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=60-2a,\quad 15<a<30} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=30(30-a)^2(2a-30)\)。微分すると \((S^2)'=180(30-a)(20-a)\)。存在範囲で \(a=20\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=20,\quad S_{\max}=100\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(30\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=30r\)。

\[ \boxed{r=\frac{10}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。