金沢大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第015回
この回のテストポイント
- 第1問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第2問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第3問：集合の包含と人数の計算
- 第4問：内分点・内積・三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 剰余定理と三次式の因数分解（25点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(27)=0\)、\(P(-27)=39366\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（7点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（7点）
（3）P(x)を \(x-54\) で割った余りを求めなさい。（11点）
第2問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=27,\ a_{n+1}=2a_n+27\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第3問 集合の包含と人数の計算（25点）
135人のクラスで、集合Aの人数は81人、集合Bは54人、両方に属する人数は27人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）
第4問 内分点・内積・三角形の面積（25点）
A(0,0)、B(54,0)、C(0,54)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(P(x)=(x-27)\(x^2+27x-729\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+27=2(a_n+27)\) なので \(a_n+27=54\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=27(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。