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日本女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第031回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(32)=0\)、\(P(-32)=65536\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-64\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+1024=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=32、AC=64、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{4096}+\frac{y^2}{1024}=1 \]

の第1象限の点 \(P(64\cos t,32\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第5問　指数関数の最大値と積分の極限（16点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-32x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(32,1),\ \mathbf b=(1,32) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-2048,\quad b=32768} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-32)\(x^2+32x-1024\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=32,16(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{163840} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-1024)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-32\ \text{または}\ t\ge32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(1024\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=1024+4096-4096\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{32\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{512\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{64}+\frac{y\sin t}{32}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(64/\cos t\)、\(32/\sin t\)。面積は \(1024/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=2048,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(1024\(1-x^2/4096\)\)。\(-64\le x\le64\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{262144}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-32x}(1-32x)\)。指数因子は正なので \(x=1/32\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{32},\quad\max f=\frac1{32e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{32x+1}{1024}e^{-32x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(32a+1)e^{-32a}}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(e^{-32a}\) と \(ae^{-32a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=64,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{1025}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{64}{1025}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=1025t^2-128t+1025 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{1046529}{1025},\quad t=\frac{64}{1025}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。