日本女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第030回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：直角三角形の三角比と内接円
- 第3問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第4問：1の累乗根と積・距離の和
- 第5問：区分求積と和の極限
- 第6問：等差数列の一般項・和・境界
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-21x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=7\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{21} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第2問 直角三角形の三角比と内接円（17点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=7、AC=14とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）
第3問 非復元抽出の組合せと期待値（17点）
袋に赤玉14個、青玉7個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）
第4問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^7=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{6}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{6}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{6}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 区分求積と和の極限（16点）
正の整数nについて、
、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{7n+j}\) とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）
第6問 等差数列の一般項・和・境界（16点）
初項7、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(a_n\ge 21\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-14)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=14で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-147\)、接点のy座標は \(-686\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
面積は \(49\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(7\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{6}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{6}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{7+x}\)、
は \(g(x)=1/(7+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。