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日本女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第026回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(7)=0\)、\(P(-7)=686\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-14\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+49=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第3問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(7,0)、半径がともに7の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=7,B=7i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{14}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{15}\) を求めなさい。（8点）

第6問　内分点・内積・三角形の面積（16点）

A(0,0)、B(14,0)、C(0,14)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-98,\quad b=343} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-7)\(x^2+7x-49\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=7,\frac{7}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{1715} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-49)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-7\ \text{または}\ t\ge7} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>7} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(49\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{7}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{7}{2},\frac{7}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{7}{2},-\frac{7}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{7\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{49}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{7}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=7\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{49}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{7}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{7}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(7\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{429}{4096}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(7\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{2048}{6435}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(7,0),\quad Q=(\frac{28}{3},\frac{14}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{196}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{49}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。