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日本女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第025回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-84x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=28\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{84} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第2問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-28|+|x+28|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 84\) を解きなさい。（7点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=28、AC=56、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3136}+\frac{y^2}{784}=1 \]

の第1象限の点 \(P(56\cos t,28\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第5問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le28\) で曲線 \(y=x(28-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

第6問　等比数列と奇数番目の項の和（16点）

初項28、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-56)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=56で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-87808} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-2352\)、接点のy座標は \(-43904\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-2352x+21952} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-4148928} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-28,28\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-28\\56&-28\le x\le28\\2x&x>28\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=56,\quad -28\le x\le28} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 84\)、\(2x\le 84\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-42\le x\le 42} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=784+3136-3136\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{28\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{392\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{28} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{56}+\frac{y\sin t}{28}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(56/\cos t\)、\(28/\sin t\)。面積は \(784/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1568,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(784\(1-x^2/3136\)\)。\(-56\le x\le56\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{175616}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{28}x(28-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{10976}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(28-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{28}x^2(28-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{8605184}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le784/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(28\pm\sqrt{784-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=28\pi\sqrt{784-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{307328}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=28\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=28(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{28}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。