順天堂大学 国際教養・数学I・A 数学記述模試 第026回
この回のテストポイント
- 第1問：三角比と扇形の面積
- 第2問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第3問：データの変換と分散
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角比と扇形の面積（34点）
半径32、中心角120°の扇形OABを考える。
（1）弧ABの長さを求めなさい。（10点）
（2）扇形の面積を求めなさい。（10点）
（3）弧と弦に囲まれる弓形の面積を求めなさい。（14点）
第2問 委員選出と余事象の数え上げ（33点）
男子32人、女子32人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（9点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（9点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（15点）
第3問 データの変換と分散（33点）
5個のデータは \(30,31,32,33,34\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（9点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（9点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（15点）
解答・解説
第1問 三角比と扇形の面積
（1）
中心角は円周全体の1/3なので円周の1/3をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
扇形の面積も円の面積の1/3となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
扇形から三角形OABの面積を引く。三角形の面積は半径の2乗と120°の正弦の積の半分。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(32\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。