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自治医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第093回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　重解を使う三次曲線の面積（17点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-1083x\) の \(x=19\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le19\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{19}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　対数方程式の存在条件（17点）

\(\log_2 x+\log_2(19-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（5点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（5点）

（3）\(a=\log_2 \frac{1083}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（7点）

第4問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=19、AC=38、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=19,B=19i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　反復試行と条件付き確率（16点）

公平な硬貨を19回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(19)=0\) なので \(l:y=-13718\)。差は \((x-19)^2(x+38)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-38,-13718),\quad(19,-13718)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-38,19]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-38}^{19}(x^3-1083x+13718)\,dx \]

。原始関数は

\[ x^4/4-\frac{1083}{2}x^2+13718x \]

。

\[ \boxed{\frac{3518667}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{19}(f(x)+13718)\,dx=\frac{390963}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<19\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log19+1}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<19\)。\(x(19-x)=361/4-(x-19/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,361/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<19,\quad a\le\log_2 \frac{361}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{361}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{361}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{361}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(19-x)=\frac{1083}{16}\) を解く。2つの解の和は \(19\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{19}{4},\ \frac{57}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=361+1444-1444\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{19\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{361}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{19}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=19\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{361}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{19}{6}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{19}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(19\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{171}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{524287}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{171}{524287}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。