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自治医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第092回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項19、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第2問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-19x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第3問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+361=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第4問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(114\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{1444}+\frac{y^2}{361}=1 \]

の第1象限の点 \(P(38\cos t,19\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

第6問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（16点）

1から38までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを19より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（4点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（4点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=19\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=19(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{19}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-19x}(1-19x)\)。指数因子は正なので \(x=1/19\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{19},\quad\max f=\frac1{19e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{19x+1}{361}e^{-19x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(19a+1)e^{-19a}}{361}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-19a}\) と \(ae^{-19a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{361}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-361)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-19\ \text{または}\ t\ge19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>19} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(361\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{361}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=114-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=114-2a,\quad \frac{57}{2}<a<57} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=57(57-a)^2(2a-57)\)。微分すると \((S^2)'=342(57-a)(38-a)\)。存在範囲で \(a=38\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=38,\quad S_{\max}=361\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(57\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=57r\)。

\[ \boxed{r=\frac{19}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{38}+\frac{y\sin t}{19}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(38/\cos t\)、\(19/\sin t\)。面積は \(361/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=722,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(361\(1-x^2/1444\)\)。\(-38\le x\le38\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{54872}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(19-\lfloor19/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{5}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{10}{19},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。