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法政大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第065回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-3)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 18\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 18\) を解きなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le3\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{3}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉6個、青玉3個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第4問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(18\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　絶対値の和と場合分け（16点）

\(f(x)=|x-3|+|x+3|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（4点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（4点）

（3）不等式 \(f(x)\le 9\) を解きなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1 \]

の第1象限の点 \(P(6\cos t,3\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-3)=18\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=6} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{3<x\le6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<3\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log3+1}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{15}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=18-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=18-2a,\quad \frac{9}{2}<a<9} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=9(9-a)^2(2a-9)\)。微分すると \((S^2)'=54(9-a)(6-a)\)。存在範囲で \(a=6\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=6,\quad S_{\max}=9\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(9\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=9r\)。

\[ \boxed{r=\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-3,3\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-3\\6&-3\le x\le3\\2x&x>3\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=6,\quad -3\le x\le3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 9\)、\(2x\le 9\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{9}{2}\le x\le \frac{9}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{6}+\frac{y\sin t}{3}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(6/\cos t\)、\(3/\sin t\)。面積は \(9/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=18,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(9\(1-x^2/36\)\)。\(-6\le x\le6\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{72\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。