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法政大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第012回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le15\) とする。\(0\le x\le15\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第2問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{30}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{31}\) を求めなさい。（7点）

第3問　反射による経路の数え上げ（17点）

数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(30\) 回動かす。

（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（5点）

（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（5点）

（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（7点）

第4問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(90\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　三角関数を二次関数に置き換える（16点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+15\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（4点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（4点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=15\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-15|=2|z+15|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

解答・解説

第1問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le15\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{15}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{225}{2}a+1125} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{225}{2}\)。定義域内で \(a=15/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{15}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{1125}{2}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(15\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{9694845}{134217728}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(15\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{67108864}{300540195}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反射による経路の数え上げ

（1）

右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(15\) 回。右への移動の位置を選ぶ。

\[ \boxed{155117520} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(16\) 回、左が \(14\) 回なので \(\binom{30}{14}\) 個。全体から差し引く。

\[ \boxed{9694845} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{30}{15}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/16\)。

\[ \boxed{\frac{1}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=90-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=90-2a,\quad \frac{45}{2}<a<45} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=45(45-a)^2(2a-45)\)。微分すると \((S^2)'=270(45-a)(30-a)\)。存在範囲で \(a=30\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=30,\quad S_{\max}=225\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(45\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=45r\)。

\[ \boxed{r=5\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=15+t-30t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平方完成より

\[ f=15+\frac1{120}-30(t-\frac1{60})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=15\)、\(f(1)=-14\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{1801}{120}\ (\sin\theta=\frac1{60}),\quad\min f=-14\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(t-30t^2=0\) の解は0と \(1/30\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-15)^2+y^2=4((x+15)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+25)^2+y^2=400} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(75/3\)、半径は \(60/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=45\ (z=-45),\quad\min|z|=5\ (z=-5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-15w|=2|1+15w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{1}{9})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{2025}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。