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法政大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第011回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=16,\ a_{n+2}=16a_{n+1}-15a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第2問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{15+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{15n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第3問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉30個、青玉15個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第4問　内分点・内積・三角形の面積（17点）

A(0,0)、B(30,0)、C(0,30)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）

第5問　定義域のある二次関数とパラメータ（16点）

\(0\le x\le 30\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+225\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=15,B=15i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=15(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(15\) なので \(a_{n+1}-a_n=15^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{15^n-1}{14}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(15-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{15(15^n-1)-14n}{196}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=15a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-15a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{15+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{15+j/n} \]

は \(g(x)=1/(15+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{15+x}\,dx=[\frac23(15+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(64-15\sqrt{15})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{15+x}\,dx=[\log(15+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{16}{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{435}{946}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(15,0),\quad Q=(20,10)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{300} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{75} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+225-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}225&t\le0\\225-t^2&0<t<30\\1125-60t&t\ge30\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-15\le t\le 15\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

判別式より \(t>15\) または \(t<-15\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>15\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(30)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1125-60t\)。

\[ \boxed{15<t\le \frac{75}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{15}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=15\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{225}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{5}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=5\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。