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広島大学 教育・経済など・数学IIまで 数学記述模試 第049回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）

\(a_1=9,\ a_{n+1}=2a_n+9\) で定まる数列を考える。

（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）

第2問　空間の垂線と四面体（25点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(9,0,0),B(0,18,0),C(0,0,27) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(9\) 個、青玉 \(18\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　絶対値の和と場合分け（25点）

\(f(x)=|x-9|+|x+9|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）

（3）不等式 \(f(x)\le 27\) を解きなさい。（11点）

解答・解説

第1問　固定点を引く漸化式と重み付きの和

（1）

\(a_{n+1}+9=2(a_n+9)\) なので \(a_n+9=18\cdot2^{n-1}\)。

\[ \boxed{a_n=9(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。

\[ \boxed{S_n=9(2^{n+1}-n-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a_j/2^j=9(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。

\[ \boxed{9(n-1+2^{-n})} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=54} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=54\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{324}{49},\frac{162}{49},\frac{108}{49}),\quad OH=\frac{54}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底面OABの面積は \(81\)、Cからこの底面までの高さは \(27\) なので体積は \(729\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{567}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((9-1)/(27-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{4}{39}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{18(18-1)}{27(27-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{2}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(9-1)<45-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{2}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-9,9\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-9\\18&-9\le x\le9\\2x&x>9\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=18,\quad -9\le x\le9} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 27\)、\(2x\le 27\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{27}{2}\le x\le \frac{27}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。