福岡大学 文系・数学I・II・A 数学記述模試 第078回
この回のテストポイント
- 第1問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第2問：対数の真数条件と単調性
- 第3問：直角三角形の三角比と内接円
- 第4問：三角比と扇形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・II・Aに絞り、数学B・Cを含めない演習として構成します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=8、AC=16、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
第2問 対数の真数条件と単調性（25点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-8)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（7点）
（2）\(F(x)=\log_2 128\) を解きなさい。（7点）
（3）\(F(x)\le\log_2 128\) を解きなさい。（11点）
第3問 直角三角形の三角比と内接円（25点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=8、AC=16とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）
第4問 三角比と扇形の面積（25点）
半径8、中心角120°の扇形OABを考える。
（1）弧ABの長さを求めなさい。（7点）
（2）扇形の面積を求めなさい。（7点）
（3）弧と弦に囲まれる弓形の面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=64+256-256\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-8)=128\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
面積は \(64\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 三角比と扇形の面積
（1）
中心角は円周全体の1/3なので円周の1/3をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
扇形の面積も円の面積の1/3となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
扇形から三角形OABの面積を引く。三角形の面積は半径の2乗と120°の正弦の積の半分。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。