同志社大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第038回
この回のテストポイント
- 第1問：楕円の接線と切片・回転体
- 第2問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第3問：等比数列と奇数番目の項の和
- 第4問：区分求積と和の極限
- 第5問：反射による経路の数え上げ
- 第6問：等周条件と三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(14\cos t,7\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第2問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=7\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第3問 等比数列と奇数番目の項の和（17点）
初項7、公比2の等比数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）
第4問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{7n+j}\) とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第5問 反射による経路の数え上げ（16点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(14\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（4点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（4点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（8点）
第6問 等周条件と三角形の面積（16点）
周の長さが \(42\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（4点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（4点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(14/\cos t\)、\(7/\sin t\)。面積は \(49/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(49\(1-x^2/196\)\)。\(-14\le x\le14\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=7\)、\(f(1)=-6\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-14t^2=0\) の解は0と \(1/14\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 等比数列と奇数番目の項の和
（1）
初項に公比のn−1乗を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{7+x}\)、
は \(g(x)=1/(7+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(7\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(8\) 回、左が \(6\) 回なので \(\binom{14}{6}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{14}{7}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/8\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=42-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=21(21-a)^2(2a-21)\)。微分すると \((S^2)'=126(21-a)(14-a)\)。存在範囲で \(a=14\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
半周長は \(21\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=21r\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。