同志社大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第037回
この回のテストポイント
- 第1問：1の累乗根と積・距離の和
- 第2問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第3問：重解を使う三次曲線の面積
- 第4問：対数の評価と部分積分
- 第5問：標本平均と片側検定・必要標本数
- 第6問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^7=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{6}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{6}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{6}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ（17点）
\(0\le x\le 14\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+49\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）
第3問 重解を使う三次曲線の面積（17点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-147x\) の \(x=7\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）
第4問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le7\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第5問 標本平均と片側検定・必要標本数（16点）
ある母集団の母標準偏差は \(7\) で既知とする。独立な \(196\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。
（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（4点）
（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（4点）
（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）
第6問 放物線の接線と囲まれた面積（16点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-49)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（4点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(7\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{6}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{6}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+49-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-7\le t\le 7\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>7\) または \(t<-7\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>7\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(14)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(245-28t\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(7)=0\) なので \(l:y=-686\)。差は \((x-7)^2(x+14)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-14,7]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{147}{2}x^2+686x\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<7\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 標本平均と片側検定・必要標本数
（1）
標本平均の標準偏差は
。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot7/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot7)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=49\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
接点は \((\pm7,49)\)。底辺の長さは \(14\)、Pから底辺までの高さは \(98\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-7)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{7}(x-7)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。