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中央大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第096回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le7\) で曲線 \(y=x(7-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(7,0)、半径がともに7の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=8,\ a_{n+2}=8a_{n+1}-7a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第4問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{196}+\frac{y^2}{49}=1 \]

の第1象限の点 \(P(14\cos t,7\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(7\) 個、青玉 \(14\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(7)=0\)、\(P(-7)=686\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-14\) で割った余りを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{7}x(7-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{343}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(7-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{7}x^2(7-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{16807}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le49/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(7\pm\sqrt{49-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=7\pi\sqrt{49-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{2401}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{7}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{7}{2},\frac{7}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{7}{2},-\frac{7}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{7\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{49}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=7(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(7\) なので \(a_{n+1}-a_n=7^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{7^n-1}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(7-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{7(7^n-1)-6n}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=7a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-7a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{14}+\frac{y\sin t}{7}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(14/\cos t\)、\(7/\sin t\)。面積は \(49/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=98,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(49\(1-x^2/196\)\)。\(-14\le x\le14\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{2744}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((7-1)/(21-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{14(14-1)}{21(21-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{3}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(7-1)<35-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{3}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-98,\quad b=343} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-7)\(x^2+7x-49\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=7,\frac{7}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{1715} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。