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中央大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第095回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{28+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{28n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　等周条件と三角形の面積（17点）

周の長さが \(168\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+28)(n+29)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{58}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=784\\) 上の点 \(P(t,784/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　停止する試行と期待値の連立（16点）

表の確率が \(1/28\)、裏の確率が \(27/28\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（4点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（4点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）

第6問　三次方程式の実数解の個数（16点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2352x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{28+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{28+j/n} \]

は \(g(x)=1/(28+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{28+x}\,dx=[\frac23(28+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(29\sqrt{29}-56\sqrt{7})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{28+x}\,dx=[\log(28+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{29}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=168-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=168-2a,\quad 42<a<84} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=84(84-a)^2(2a-84)\)。微分すると \((S^2)'=504(84-a)(56-a)\)。存在範囲で \(a=56\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=56,\quad S_{\max}=784\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(84\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=84r\)。

\[ \boxed{r=\frac{28}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+28}-\frac1{n+29}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{29(n+29)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{29} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=784/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-784/t=-784(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{784}=2,\quad(2t,0),(0,1568/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1568/t\)。その積が \(3136\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1568} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1568/t\ge112\)。等号は \(t=28\) のとき。

\[ \boxed{\min=112,\quad P=(28,28)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{784},\quad P(T=3)=\frac{27}{21952}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(p=1/28,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{812} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

1回の表までの平均は \(28\) 回なので合計2回の表までの平均は \(56\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=56,\quad\text{差}=756} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-28)(x+28)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-28\) で極大、\(x=28\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }43904,\quad\text{極小値 }-43904} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-43904<a<43904} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(a=43904\) では \(f(x)-a=(x-56)(x+28)^2\)。\(a=-43904\) では \(f(x)-a=(x+56)(x-28)^2\)。

\[ \boxed{a=43904:x=-28,56;\quad a=-43904:x=-56,28} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。