中央大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第002回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の評価と部分積分
- 第2問：合同な2円の交点と共通弦
- 第3問：絶対値を含む面積の最適化
- 第4問：1の累乗根と積・距離の和
- 第5問：完全順列の漸化式と固定点
- 第6問：三次方程式の実数解の個数
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le25\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第2問 合同な2円の交点と共通弦（17点）
中心O(0,0)、A(25,0)、半径がともに25の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）
第3問 絶対値を含む面積の最適化（17点）
\(0\le a\le25\) とする。\(0\le x\le25\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）
第4問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^25=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{24}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{24}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{24}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 完全順列の漸化式と固定点（16点）
\(25\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
第6問 三次方程式の実数解の個数（16点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1875x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<25\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{25}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le25\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(S'(a)=a^2-\frac{625}{2}\)。定義域内で \(a=25/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(25\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{24}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{24}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると
。全割当ては \(25!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/25\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-25)(x+25)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-25\) で極大、\(x=25\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(a=31250\) では \(f(x)-a=(x-50)(x+25)^2\)。\(a=-31250\) では \(f(x)-a=(x+50)(x-25)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。