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中央大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第001回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le25\) で曲線 \(y=x(25-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(25,0,0),B(0,50,0),C(0,0,75) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+25)(n+26)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{52}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=625\\) 上の点 \(P(t,625/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(25\) 個、青玉 \(50\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　対数方程式の存在条件（16点）

\(\log_2 x+\log_2(25-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（4点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（4点）

（3）\(a=\log_2 \frac{1875}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{25}x(25-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{15625}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(25-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{25}x^2(25-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{1953125}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le625/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(25\pm\sqrt{625-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=25\pi\sqrt{625-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{390625}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=150} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=150\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{900}{49},\frac{450}{49},\frac{300}{49}),\quad OH=\frac{150}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(625\)、Cからこの底面までの高さは \(75\) なので体積は \(15625\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{4375}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+25}-\frac1{n+26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{26(n+26)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{26} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=625/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-625/t=-625(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{625}=2,\quad(2t,0),(0,1250/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1250/t\)。その積が \(2500\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1250} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1250/t\ge100\)。等号は \(t=25\) のとき。

\[ \boxed{\min=100,\quad P=(25,25)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((25-1)/(75-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{4}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{50(50-1)}{75(75-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{6}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(25-1)<125-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{6}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<25\)。\(x(25-x)=625/4-(x-25/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,625/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<25,\quad a\le\log_2 \frac{625}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{625}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{625}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{625}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(x(25-x)=\frac{1875}{16}\) を解く。2つの解の和は \(25\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{25}{4},\ \frac{75}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。