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中央大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第050回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(18\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　非復元抽出の組合せと期待値（25点）

袋に赤玉6個、青玉3個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le3\) とする。\(0\le x\le3\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 6\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+9\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=18-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=18-2a,\quad \frac{9}{2}<a<9} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=9(9-a)^2(2a-9)\)。微分すると \((S^2)'=54(9-a)(6-a)\)。存在範囲で \(a=6\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=6,\quad S_{\max}=9\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(9\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=9r\)。

\[ \boxed{r=\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{15}{28}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le3\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{3}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{9}{2}a+9} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{9}{2}\)。定義域内で \(a=3/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{3}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{9}{2}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+9-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}9&t\le0\\9-t^2&0<t<6\\45-12t&t\ge6\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-3\le t\le 3\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>3\) または \(t<-3\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>3\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(6)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(45-12t\)。

\[ \boxed{3<t\le \frac{15}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。