中央大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第049回
この回のテストポイント
- 第1問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第2問：集合の包含と人数の計算
- 第3問：部分分数分解と有限和の評価
- 第4問：三角関数を二次関数に置き換える
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化（25点）
円 \\(x^2+y^2=9\\) の内部の点 \(Q(\frac{3}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）
第2問 集合の包含と人数の計算（25点）
15人のクラスで、集合Aの人数は9人、集合Bは6人、両方に属する人数は3人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）
第3問 部分分数分解と有限和の評価（25点）
\(a_n=\frac1{(n+3)(n+4)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（7点）
（3）\(S_n\ge\frac1{8}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
第4問 三角関数を二次関数に置き換える（25点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=3\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{3}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{27}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{3}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{9m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{9-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le3/2\)。面積の2乗は \(d^2(9-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(9-s)\) は \(0\le s\le9/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=3\)、\(f(1)=-2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(t-6t^2=0\) の解は0と \(1/6\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。